ビオサバールの法則で直線電流の作る磁場を計算する
この記事は，あらためて書き直しました。こちらをご覧ください。
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体調が悪くてこの土日はほとんど寝てたんだけど，少しだけ教材研究もしたので，メモしておきます。
高校物理ではビオ・サバールの法則を教えないので，「直線電流の作る磁場はH=i/2πrで，円形電流の作る磁場はH=i/2rだ」とかって天下るんだけど，ちょっと気持ち悪いですよね。で，初学者にも分かるように計算できないかと思ってやってみました。
高校ではベクトルの外積を教えないので，「電流素片idzがつくる磁場の向きは右ねじの法則で分かるだろ？」
ってことで，ビオサバールの法則も大きさだけの式にしてみました。
なんとか答えは出てきたけど，ちょっとインチキくさいかも。
でも，ネットで調べてみるとこうやって計算してる人も何人か見つかりましたし，もっとインチキくさいのもありました(^^;)
体調不良で頭がサエないので，計算間違いもあるかもね。なんかオカシイところを見つけたら教えてくださいm(__)m
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コメント
はじめまして、T_NAKAと申します。
電流素片idzが半径aの中心に来たときを、z軸の原点(z=0)として、図の位置は「-z」とすれば良いじゃないか？なんて思います。
そうすると、-z=a/tanθ なので、 dz={a/(sinθ)^2}dθ なので、符号が逆になりません。
投稿: T_NAKA | 2007年7月30日 (月) 12:09
T_NAKAさん，コメントありがとうございました。
「-z=a/tanθとすればよい」とのご指摘ですが，
a>0，tanθ>0だから，これはちょっとマズいんじゃないかと思いましたが，翻って自分の式を見てみるとθがπ/2を超えたところからzが負になってしまいますから，やはり同じようにマズいですね(^^;)
その後，こんなページ↓を発見しました。
http://p-grp.nucleng.kyoto-u.ac.jp/~honda/electromagnetism/node33.html
図がないので分かりにくいですが，z軸上のQ点をO点の上(正の側)にとって，idzとr'のなす角をθ'(>π/2)，その補角をθとして，補角θの方で積分しているようです。
大筋は僕の計算と同じだと思いますが，ゴマかし方がスマート(?)です。
「θ'<π/2のとき，rcotθ<0になるけどどうするの？」とツッコミを入れたくなります。
投稿: むらた＠のらねこ学会 | 2007年7月30日 (月) 18:54
「物理学」（小出昭一郎著・裳華房）を引っ張り出して確認してみました。
また違う解釈になってますね。ご提示の図に沿って説明しますと、dzというベクトルの始点（点Oとします）からベクトルdHの始点（仮に点Qとします）を結ぶ直線とｚ軸の成す角がθとします。
dzというベクトルの終点を点Pとして、直線OQと直線PQの成す角をdθにとります。
驚くべきことに、θの扇を開く方向にはdθをとらないということです。
そうすると、r=a/(sinθ)、 sinθdz=rdθ でｚが陽には出て来ないようにしてます。
つまり、点Qから距離rにあるrdθの長さの1/sinθがdzという訳ですね。
投稿: T_NAKA | 2007年7月31日 (火) 00:30
「物理学」（小出昭一郎著・裳華房）は学生の頃に買った憶えがあるので探してみたのですが，どこにしまい込んだのか見つかりませんでした(^^;)
でも，こういうこと↓ですよね。
http://physics.cocolog-nifty.com/weblog/2007/07/20070731.jpg
で，大切な部分を拡大するとこう↓でしょうか。
http://physics.cocolog-nifty.com/weblog/2007/07/20070731_2.jpg
確かにこうすれば困難は回避できそうです(^^)
近似式になるのがちょっと気になりますが，仕方のないことなのでしょうね。
これを読んでる人の中には「1/(a^2+z^2)^(3/2)を積分しろよ」と思ってる人もいるかもしれませんが，高校生向きの易しい説明を考えてるので，ご理解くださいね。
T_NAKAさん，いろいろと調べてくださって本当にありがとうございました。勉強になりましたm(__)m
投稿: むらた＠のらねこ学会 | 2007年7月31日 (火) 20:53
はじめまして
ずいぶん前の記事にコメントしてすみません
参考に見させていただきました。
最初の解でマイナスになっている件ですが、図を見るかぎりでは
ｚ→+∞のときθ→0
ｚ→-∞のときθ→π
であると思うのでマイナスにはならないと思うのですが、どうでしょうか？
投稿: Ｄ | 2009年1月19日 (月) 00:23
Ｄさん，コメントありがとうございます。
おっしゃる通りですね。
ちょっと頭がボケてたようです。
お恥ずかしい(^^;)
投稿: むらた＠のらねこ学会 | 2013年8月 8日 (木) 12:34